Os sistemas de equações consistem em ferramentas importantes na Matemática, eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os métodos usados na resolução de um sistema são: substituição e adição. Exemplos de sistemas de equações:

Vamos então resolver alguns sistemas de equação do primeiro grau, para dominarmos ao máximo o assunto:

Usando o método da substituição:

1) x + Y = 20

    X - Y = 10.

Vamos resolver o primeiro conjunto:

x + y = 20   >>>   x = 20 - y.

Agora, vamos inserir esta equação no segundo conjunto, substituindo o x dele pelo valor encontrado acima:

x - y = 10   >>>   20 - y - y = 10   >>>   20 - 2y = 10   >>>   - 2y = 10 - 20.

- 2y = - 10 (multiplicamos todos os termos por (- 1)   >>>   2y = 10.

y = 10/2   >>>   y = 5.

Agora que encontramos o valor da incógnita Y, vamos substituir o mesmo no primeiro conjunto:

x + y = 20   >>>   x + 5 = 20   >>>   x = 20 - 5   >>>   x = 15.

S: {15, 5}.

Agora, para termos a certeza de que os valores são exatos, substituímos os valores encontrados nos conjuntos iniciais:

x + y = 20   >>> 15 + 5 = 20   >>>   20 = 20.

x - y = 10   >>>   15 - 5 = 10   >>>   10 = 10.

2) y = 4x

    x + y = 5

Neste caso, o primeiro conjunto já está completo, bastando substituí-lo no segundo:

x + 4x = 5   >>>   5x = 5   >>>   x = 5/5   >>>   x = 1.

O valor de x será então substituido no primeiro conjunto:

y = 4x   >>>   y = 4 . 1   >>>   y = 4.

S {1, 4}.

Para termos a certeza que os valores encontrados são verdadeiros, substituímos os mesmos nas equações:

y = 4x   >>>   4 = 4 . 1   >>>   4 = 4.

x + y = 5   >>>   1 + 4 = 5   >>>   5 = 5.

3) x - 2y = 7

    3x + y = 35

x - 2y = 7    >>>  x = 7 + 2y.

Substituímos o novo valor de x no segundo conjunto:

3x + y = 35   >>> 3 (7 + 2y) + y = 35   >>>   21 + 6y + y = 35   >>>   21 + 7y = 35

7y = 35 - 21   >>>   7y = 14   >>>   y = 14/7   >>>   y = 2.

Agora, substituímos o valor de y no primeiro conjunto:

x - 2y = 7   >>>   x - 2 . 2 = 7   >>>   x - 4 = 7   >>>   x = 7 + 4   >>>   x = 11.

S {2, 11).

Fazendo a prova real:

x - 2y = 7   >>>   11 - 2 . 2 = 7   >>>   11 - 4 = 7   >>>   7 = 7.

3x + y = 35   >>>   3 . 11 + 2 = 35   >>>   33 + 2 = 35   >>>   35 = 35.

4) 4x + y = 3

     2x + 3y = 35.

Resolvemos o primeiro conjunto:

4x + y = 3   >>>   y = 3 - 4x

Substituímos este valor no segundo conjunto:

2x + 3y = 35   >>>   2x + 3 (3 - 4x) = 19   >>>   2x + 9 - 12x = 19.

- 10x = 19 - 9   >>>   - 10x = 10  (Multiplicamos ambos os termos por (- 1).

10x = - 10   >>>   x = 10/- 10   >>>   x = - 1.

Agora, substituímos esse valor no primeiro conjunto:

4 x + y =3   >>>   4 (- 1) + y = 3   >>>   - 4 + y = 3

y = 3 + 4   >>>   y = 7.

S {- 1. 7}.

Fazendo a prova real:

4x + y = 3   >>>   4 (- 1) + 7 = 3   >>>   - 4 + 7 = 3   >>>   3 = 3.

2x + 3y = 19   >>>   2 (- 1) + 3 (7) = 19   >>>   -2 + 21 = 19   >>>   19 = 19.

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Exercício 1:

x + y = 36

x - y = 6.

Vamos então fazer o processo de adição das duas equações:

    x + y = 36

+  x - y =   6

   2x =     42

x = 42/2   ===>>>   x = 21.

Para encontrar o valor de y, basta substituir o valor de x em qualquer uma das duas equações. Neste caso, vamos fazer nas duas, só para teste.

Equação 1: x + y = 36   ===>>>   Sabemos que o valor de x = 21

21 + y = 36   ===>>>   y = 36 - 21 ===>>>   y = 15.

Equação 2: x - y = 6   ===>>>   21 - y = 6   ===>>>   - y = 6 - 21.

- y = - 15 (Multiplicamos tudo por - 1)   ===>>>   y = 15.

Exercício 2:

x + 5y = 25

- x + 3y = - 9.

Montamos a soma:

    x +  5y   = 25

+ - x + 3y  = - 9

             8y = 16   ===>>>   y = 16/8   ===>>>   y = 2.

Agora que temos o valor de y, basta substituir em qualquer das equações para encontrar o valor de x:

Equação 1: x + 5y = 25   ===>>>   x + 5 . 2 = 25   ===>>>   x + 10 = 25

x = 25 - 10   ===>>>   x = 15.

Equação 2: - x + 3y = - 9   ===>>>   - x + 3 . 2 = - 9   ===>>>   - x  + 6 = - 9

- x = - 9 - 6   ===>>>   - x = - 15 (Multiplicamos por menos 1)   ===>>>   x = 15.