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MATEMÁTICA: EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
MATEMÁTICA: EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Conforme pudemos observar na página anterior, as equações seguem regras da Matemática básica, as quais, em parte, foram vistas. Se deseja revisar estes conteúdos, clique neste link para ter acesso ao mesmo: http://teachersergio.no.comunidades.net/desvendando-os-segredos-da-matematica

Vamos agora estudar o conteúdo de Equação do Primeiro Grau mais profundamente.

INTRODUÇÃO

Equação do Primeiro Grau - É a expressão algébrica com igualdade, onde o maior expoente das partes literais dos monômios é 1.

Exemplos:

a) 3X + 22 = 58.

b) X + X + 2X = 200.

Nota nº 1 > Observamos que os monômios representados pela letra X estão com os expoentes elevados a 1.

Na verdade, em termos teóricos, todos os algarismos estão elevados a 1. Só que, na prática, não precisamos inserir este expoente, pois isto é sabido e notório.

Vejamos o uso prático deste caso:

a) 2 . 24 . 25 = 21 . 24 , 25 = 210

b) X5 . X . X2 = X8.

Na multipicação de potências de mesma base (No caso a, a base é o algarismo 2 e no caso b, a base é o monômio X), conservamos a mesma e somamos os expoentes.

c) 510 : 56 : 52 = 52.

d) B6 : B3 : B4 = B-1

No caso da divisão, nós também conservamos a base, mas subtraímos os valores dos expoentes.

Chamamos a atenção especial para o caso d, onde a subtração acabou gerando um expoente negativo. Sobre isso, focaremos com mais detalhes no decorrer das aulas.

Devido a algumas dificuldades para a edição de sentenças matemáticas, seremos obrigados a usar algumas convenções menos usuais,como no caso das frações, que serão assim representadas:

dois terços (2/3); quatro décimos (4/10) e assim por diante.

A divisão também poderá ser representada como no caso acima, mas normalmente utilizaremos os dois pontos (50 : 5).

Na multiplicação, para evitarmos confundir com o monômio x, utilizaremos o ponto (5 . 3 = 15).

EQUAÇÃO é toda sentença matemática aberta, ou seja, possui termo desconhecido, normalmente expresso por letra e apresenta uma igualdade.

O termo que fica do lado esquerdo é chamado de 1º membro e o que fica do lado direito, depois do sinal de igual (=) é chamado de 2º membro.

A seguir, procuraremos listar o maior número possível de combinações de Equações do Primeiro Grau para facilitar o aprendizado de todos.

CASO ALGUM AMIGO VISITANTE DESEJE, PODERÁ COLABORAR CONOSCO, MANDANDO MAIS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS, NÃO SÓ DESTE, MAS COMO DE OUTROS TEMAS DE MATEMÁTICA.

a) 4x = 48

x = 48 / 4

x = 12.

Um erro que a maioria dos estudantes cometem é de achar o resultado e não procurar saber se o mesmo está correto. É o velho conceito de PROVA REAL, abandonado por alunos e professores, mas que funciona muito, pois ao fazer o teste para saber se o resultado está realmente correto, o aluno tem de fazer o exercício ao contrário, o que facilita muito o entendimento.

O problema me afirma que 4 vezes determinado algarismo é igual a 48. Se o resultado encontrado foi 12, então devemos multiplicar este valor por 4. Se der 48, então o resultado está correto.

4x = 48   =>   x = 12   => 4 . 12 = 48.

b) 3y = - 13,5

y = (- 13,5) / 3

y = - 4,5.

Prova Real:

3 . (- 4,5) = - 13,5.

c) - 6a = 24

Este é um caso muito interessante, pois o termo onde fica a incógnita não pode ser negativo. Por este motivo, multiplicamos os dois termos por (- 1). Assim, nossa sentença será refeita:

- 6a = 24 . (- 1).

6a = - 24

a = - 24 / 6

a = - 4.

Prova Real:

(- 6) . (- 4) = 24 (Conforme vimos antes nas regras de sinais da multiplicação, um número negativo multiplicado por outro negativo, gera um número positivo).

d) - 9c = - 6

Agora, tanto o primeiro quanto o segundo termos estão negativos. Precisamos novamente multiplicar tudo por (- 1).

- 9c = - 6 . (- 1).

9c = 6

c = 6 / 9 (Como os dois termos são divisíveis por 3, fazemos a simplificação.

c = 2 / 3.

Prova Real:

- 9 . 2 / 3 = - 6

(- 9) . 2 / 3 = - 6

- 18 / 3 = - 6 (Novamente fazemos a simplificação de fração do lado esquerdo, dividindo - 18 e 3 por 3).

- 6 = - 6.

e) 5x + 9 = 29

5x = 29 - 9

5x = 20

x = 20 / 5

x = 4.

Prova Real:

5 . 4 + 9 = 29

20 + 9 = 29

29 = 29.

f) 7x - 5 = 5x + 13

7x - 5x = 13 + 5 (Parte literal à esquerda e numérica à direita)

2x = 18

x = 18 / 2

x = 9.

Prova Real:

7 . 9 - 5 = 5 . 9 + 13

63 - 5 = 45 + 13

58 = 58.

g) 4z = 3z + 7

4z - 3z = 7

z = 7.  (1z é o mesmo que z).

Prova Real:

4 . 7 = 3 . 7 + 7

28 = 21 + 7

28 = 28.


Vamos continuar, agora com exercícios mais complexos:

a) x + 8    =    x + 1

       2    

x + 8      =    x + 1 (MMC = 2).

   2                1

x + 8      =    2 (x + 1)

   2                 1x 2

x + 8      =    2x + 2 (Agora não precisamos mais dos denominadores).

   2                   2

x  + 8 = 2x + 2

x - 2x = 2 - 8

- x = - 6 (Como x não pode ser negativo, multiplicamos tudo por (- 1).

x = 6.

Prova Real:

6 + 8   =   6 + 1

   2

14   =   7

 2

7 = 7.

b)  3x  -  2x  = 1

      4       3          =>>    (O MMC entre 4 e 3 = 12).

 3x   -   2x   =   1

  4         3        1

 3 (3x)    -    4 (2x)   =  12 (1)

 4 x3            3 x4         12 (1)

9x   -   8x   =   12

12       12        12    =>>  (Agora não precisamos mais dos denominadores).

9x - 8x = 12

x = 12.

Prova Real:

3 . 12    -   2 . 12 = 1

   4               3

36   -   24   =  1

 4         3       

Se formos fazer todo o processo de MMC novamente, teremos um trabalho muito grande. Então, usamos o processo de SIMPLIFICAÇÃO de frações, para reduzirmos as mesmas ao menor índice possível. Caso ainda ficasse um denominador, aí faríamos o MMC. Como a simplificação zerou os denominadores, então o processo foi encerrado.

36 : 4   -   24 : 3  =  1

  4 : 4   -     3 : 3

9 - 8 = 1

1 = 1.

c) x   +   1   =   x  +  1

   3        2        4             

x   +   1  =  x  +  1

3        2      4      1                    =>> (O MMC de 3, 2,4 e 1 = 12).

   x .4  +  1 .6  =  x .3  +  1 .12

  3 .4       2 .6      4 .3  +  1 .12

  4x  +  6  =  3x  +  12

  12     12     12      12               =>>  (Não precisamos mais dos denominadores)

4x  +  6  =  3x  +  12

4x - 3x = 12 - 6

x = 6.

Prova Real:

+  1

3      2      4                         =>> (MMC = 12)

6 .4  +  1 .6   =   6 .3  +  1 .12

3 . 4     2 .6         4 .3      1 .12 

24  +  6  =  18  +  12

12     12     12      12

30 30

12     12                   =>> (Fazemos a simplificação das frações).

30 :6  =  30 :6

12 :6      12 :6

5

2      2

Este exercício não é difícil de fazer, mas a prova real dele é de "fundir a cuca". Por este motivo, antes de fazê-lo, vamos relembrar mais um conceito de fração.

Os exercícios a seguir apresentam o conceito de fração dividida por um número inteiro, mais o conceito de fração dividida por fração.

a) 1  +          (= 1 / 2 + 1 / 3 : 2).

    2      3

        2

 

1 .3   +   1 .2

2 .3        3 .2

        2

 

3  +  2

6      6

    2

 

 5       = (5 / 6 : 2)

 6

 2

5  : 2

6

5 2

6    1

5     ==>  Não se esqueça: na divisão de frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pela

6     2              segunda fração invertida.

  5 

12

b) - 3  -  1        = (- 3 / 4  -  1 / 5 : 3)

       4      5

          3

 

3 .5  -  1 .4

   4 .5     5 .4

          3

 

- 15  -  4

  20    20

      3

 

- 19        =  - 19 / 20  :  3

  20

  3

 

- 19  :  3

  20

 

- 19  :  3

  20     1

 

- 19  .  1

  20     3

 

- 19

  60

c) 2  +  1   =>>   2 .6   +   1 .5     =>>     12  +  5     =>>     17

    5      6             5 .6       6 .5                30     30               30 

        1                                                                       

      10                          10                           10                  10

 

17  :  1      =>>      17  .  10    =>>     170  =   170: 10       =       17

30    10                  30      1                 30         30 : 10                 3

Voltemos então aos últimos exercícios de Equação do Primeiro Grau:

a) 3x  +  2  -  x + 1 2x + 3

          4            3             6               =>> O MMC = 12

 

3 (3x + 2)    4 (-x + 1)  =  2 (2x + 3)

    3 .4            4 .3                2 .6   

   

9x + 6  - 4x + 4  = 4x  +  6

   12          12           12           =>> Não precisamos mais dos denominadores.

 

9x  -  4x  -  4x  =  6 - 6 - 4

9x - 8x  =  6 - 10

x = - 4.

Prova Real:

3x  +  2  -  x  +  1   =  2x  +  3

     4             3                6

 

3 (- 4) + 2  -  (- 4)  + 1  =  2 (- 4) + 3

       4                 3                  6

 

- 12 + 2  +  4 + 1  =  - 8 + 3

     4             3              6

 

- 10  +  5  =  - 5

  4        3        6

 

3 . (- 10)  +  4 .5  =  2 . (- 5)

   3 . 4         4 . 3        2 . 6

 

- 30  +  20  =  - 10

 12       12        12

 

- 10 :2  =  - 10 :2

  12 :2        12 :2

 

- 5  =  - 5

  6        6

 

b) x - 2  + x - 1  =  - 1

      3          5

 

x - 2  +  x - 1  =  - 1

  3           5           1

 

5 .(x - 2)  +  3 .(x - 1)  =  15 . (- 1)

    5 . 3            3 .5           15 . 1

 

5x - 10  +  3x - 3  = - 15

    15           15          15

 

5x - 10 + 3x - 3  =  - 15

5x + 3x  =  - 15 + 10 + 3

8x  =  - 15 + 13

8x  =  - 2

x = - 2

        8

x = - 1

        4

Prova Real:

x - 2  +  x - 1  =  - 1

  3           5

 

- 1  -  2  +  (- 1 - 1) = - 1

  4     1          4   1      1

     3               5

 

- 1  -  2 (4)  +  (- 1 - 1 .4)  =  - 1

  4     1 . 4          4   1 .4        1

       3                   5

 

- 1 - 8 + (- 1 - 4)  =  - 1

  4   4        4 . 4        1

    3             5      

 

- 9 + (- 5)  =  - 1

  4       4         1

 3        5

 

- 9  -  5  =  - 1

  4     4        1

 3      5

 

- 9 : 3 - 5  : 5  =  - 1

  4        4             1

 

- 9 : 3  -  5 : 5  =  - 1

  4   1     4   1        1

 

- 9 . 1  -  5 . 1  =  - 1

  4   3     4    5       1

 

- -    =  - 1

 12    20        1

 

- 45  -  15  =  - 60

  60      60       60

 

- 60  =  - 60

  60        60

- 1 = - 1

Agora que você domina conceitos básicos de Matemática Básica e conceitos básicos de Equação do Primeiro Grau, nós o convidamos a mergulhar nos problemas envolvendo a matéria, onde aprenderá mais alguns conceitos e terá diferentes situações envolvendo a mesma. É só clicar no link abaixo:

http://teachersergio.no.comunidades.net/equacao-do-primeiro-grau-problemas

 

 

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