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LOGARÍTMOS
LOGARÍTMOS

1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a ideia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Outros exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.

(Extraído do site:www.algosobre.com.br).

raiz

Sabemos que a melhor forma de aprender Matemática é simplesmente treinando, fazendo muitos exercícos, pois como o corpo necessita de exercícios para se desenvolver, nossa mente também precisa.

1) log264 =

log264 = x     =>>>     2x = 64     =>>>     2x = 26     (Não precisamos mais das bases).

x = 6.

A incógnita x pode ser substituída por qualquer letra; x é mais usado apenas por convenção.

Observe que as bases precisam ser exatamente iguais. Como o log está na base 2, o  logaritmando (64) também precisa ficar na base 2.  Para isso, usamos o processo da divisão em fatores primos:

64 | 2

32| 2

16 | 2

  8 | 2

  4 | 2

  2 | 2

       1

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2  =  26

 


 2) log5625

log5625 = x     =>>>     5x = 625     =>>>    5x = 54   

x = 4.

No caso acima, fatoramos o 625 e obtivemos como resultado, 54. Não se esqueça: As bases precisam ser iguais, de um lado e do outro lado.


 3) log327

log327 = x     =>>>>    3x  =  27     =>>>>>     3x  =  33

x  =  3.

 


 4) log4256

log4256 = x     =>>>>     4x = 256     =>>>>>     4x = 44     =>>>     x = 4

 


5) log1515

log1515 = x     =>>>     15x = 151     =>>>     x = 1.

 


 Antes de continuar, vamos revisar alguns conceitos sobre potenciação e radiciação.


Podemos reescrever a raíz quadrada acima, da seguinte forma:

Agora nós precisamos retirar o algarismo 3 da raiz. Isso vai transformar o expoente numa fração. Preste bem atenção: a raíz é quadrada (2). A base é 3 e a potência é 1. Então, ao tirarmos da raíz, o algarismo fica assim:

31/2   Lê-se: 3 elevado a um meio.

Para tirarmos um algarismo de uma raíz, conservamos a base. O expoente do algarismo se transforma em numerador e o índice da raíz (raiz quadrada (2), cúbica (3), quarta (4), etc, se transformam em denominador. Vamos acompanhar outro caso, ainda com raíz quadrada:

Neste novo exemplo, a base é 2, o  expoente é 3 e a raíz ainda é quadrada. Então, ao tirarmos da raíz, o algarismo fica assim:

23/2  Lê-se: dois elevado a três meios.

Vamos abordar agora um caso com raíz cúbica.

Base = 4; expoente = 2; índice de raíz = 3. Então, ao tirarmos da raís, o algarismo fica assim:   

42/3  Lê-se: quatro elevado a dois terços.

Sorriso

 


 raiz

Quando temos raízes fracionárias, fazemos a extração da raíz do numerador e do denominador. Numerador igual a 1 a raíz é igual a 1.

O denominador da raíz acima será submetido à fatoração. Em seguida, cancelamos a potência com a raíz. Veja na figura a seguir:

raiz

O resultado final é:  1

                   3

 


raiz

Fatoramos o algarismo 32 e encontramos como resultado, 25. Elevamos a este espoente para acompanharmos a raíz, que é quinta. Se fosse raíz quarta, o algarismo deveria ser elevado a 4ª potência no momento da fatoração. Veja o resultado a seguir:

raiz

Agora, cancelamos as potências com a raíz e assim, o algarismo final tem a aparência a seguir:

1

2

 


raiz

Mais uma vez chamamos a atenção para o índice da raíz, que no caso é 3. Por isso, faturamos o numerador e o denominador de forma que a potência seja cubo.

raiz

Agora que índice de raíz e potências de numerador e denominador estão equalizadas, podemos eliminá-las e tirar o algarismo da raíz. O resultado é:

2

3

 


 raiz

Novamente percebemos que a raíz é cúbica. Portanto, numerador e denominador deverão estar elevados ao cubo. Fatorando os dois, ficamos assim:

raiz

Agora, cancelamos raíz com potências:

raiz

Agora, podemos eliminar raíz e potências. O resultado final é:

4

5

 Sorriso


 Antes de continuar, precisamos relembrar mais alguns antigos conceitos sobre simplificação de radicais:

raiz

Precisamos, mais uma vez, simplificar este radical, fazendo a decomposição em fatores primos do radicando (2048).

raiz

Ao fazer a decomposição, percebemos que a potência do radicando é 11 e a potência do radical é 10. Vamos, então, resolver esta questão:

raiz

Observe que, agora, o radicando tem um termo que está elevado a 10, mesma situação do radical, e outra que está elevada a 1. Vamos eliminar o radicando elevado a 10.

raiz

Agora que temos as potências equalizadas, podemos cancelar a potência com a raiz do primeiro e manter o segundo:

raiz

Depois de cancelada a potência e a raíz do primeiro termo, eliminamos a potência e a raíz do ´rimeiro termo, deixando apenas o número inteiro que multiplica a raíz do segundo termo. Veja o resultado final desta simplificação:

raiz

Portanto, este é o resultado final do exercício.

 


 

 Vejamos o caso a seguir:

raiz

Vamos simplificar ao máximo o radicando, até obter uma potência compatível com a raíz:

raiz

Agora que potência e raíz são compatíveis, vamos simplificar as mesmas:

raiz

Como ambos são divisíveis por 5, efetuamos a operação e o resultado final aparece a seguir:

raiz

 


 

Vamos fazer mais alguns exercícios para colocarmos em prática o que aprendermos até agora:

raiz

Vamos procurar deixar a potência equalizada com a raiz:

raiz

Agora vamos eliminar o radical e a potência:

raiz

O resultado final é: 3.

Vejamos mais um caso de simplificação de radicais:

raiz

Neste caso, a raíz é maior que a potência. Então, vamos precisar dividir o radical pela potência do radicando.

raiz

Como potência e raízes são múltiplos entre si, então dividimos um pelo outro.

raiz

Este é o resultado final do exercício.


Embaraçado

Vejamos agora alguns casos de simplificação envolvendo frações:

raiz

O primeiro passo é separar as raízes:

raiz

Em seguida, equalizamos potências com raízes:

raiz

Agora, simplificamos raízes e potências:

raiz

O resultado final fica assim:

raiz

 


 raiz

Vamos dividir as raízes:

raiz

Agora que fizemos a divisão, vamos equalizar potências com raízes:

raiz

Em seguida, cancelamos potências com raízes:

raiz

E agora, o resultado final:

raizraiz

 


 Agora, vamos ao próximo exemplo:

raiz

Vamos dividir em duas raízes distintas:

raiz

Em seguida, simplificamos o que for possível; no caso, apenas o denominador:

raiz

Ao fazermos a finalização, teremos o resultado a seguir:

raiz

Comentário: O exercício acima abordado, é  um importantíssimo capítulo da Matemática, que trata da racionalização de denominadores. Futuramente falaremos com mais detalhes sobre este assunto, pois caso contrário, não conseguiremos dar sequência ao estudo dos logarítmos.

raiz

Para finalizar esta introdução, vamos abordar as potências de expoentes fracionários e então, retornar aos exercícios de logarítmos.

raiz

Já falamos bem rapidamente sobre este assunto, mas agora vamos abordá-lo de forma mais profunda.

O valor do radicando (raíz quadrada) vale 2, embora não precisemos colocar este algarismo lá, pois sabemos que, não havendo um algarismo, a raíz é quadrada.

A base é 2 e o seu expoente é 1.

Sabemos que qualquer algarismo está elevado a 1, mas como isto é sabido e notório, não precisamos colocar o 1 acima do algarismo 2; mas ele está lá!

Assim, para tirarmos o algarismo 2 de dentro da raíz quadrada, conservamos a base, o expoente se torna numerador e o valor do radicando se torna denominador, ficando o novo valor assim expresso:

raiz ==> Lê-se: Dois elevado a um meio.

 


 Vejamos o novo exemplo:

raiz

Agora, os algarismos são todos visíveis:

Radicando vale 5, base vale 3 e a potência vale 2. Seguindo-se o mesmo raciocínio realizado no exercício anterior, conservamos a base e elevamos a potência como numerador e o radicando como denominador, ficando o novo algarismo assim representado:

raiz     ==> Lê-se: 3 elevado a dois quintos.

 


 Vamos então ao penúltimo exemplo:

raiz

Executando os mesmos procedimentos do exercício anterior, o resultado final é:

raiz

 


 raiz

O resultado fica:

raiz


Agora, vamos fazer três exemplos inversos, ou seja, números elevados a determinada potência, que serão transformados em raízes:

raiz

Conforme já vimos em exercícios anteriores, o denominador equivale à raíz, o numerador é a potência e a base é o algarismo que fica dentro da raíz:

raiz

Este é o resultado final do exercício.


Mais um exemplo:

raiz

O resultado final, seguindo o mesmo raciocínio acima fica assim:

raiz

Observem que o algarismo 1 não precisa ser escrito, pois qualquer algarismo elevado a 1 é igual ao próprio algarismo.

E para finalizar:

raiz

E agora, o resultado final:

raiz

Agora que fizemos uma boa revisão, podemos retornar aos exercícios de logarítmos.


 6) log416 =    =>>>   log416 = x   =>>>   4x = 16   =>>>   4x = 42   =>>>   x = 2.

Não se esqueçam: Não precisamos mais das bases, só dos expoentes!


7) log3 1     =>>>   log3 =  x   =>>>   3x  =  1     =>>>   3x  =  1     =>>>   3x = 3- 3   

          27                       27                                27                         33

x = - 3


Nos dois casos a seguir, veremos o mesmo algarismo calculado com logs diferentes:

8) log381   =>>>  log381 = c    =>>>    3c = 81   =>>>   3c = 34   =>>>   c = 4

8b) log981   =>>>   log981 = c   =>>>   9c = 81   =>>>   9c = 92   =>>>   c = 2.

Perceberam a diferença? A base do logarítmo é quem determina seu valor. Este tipo de situação é muito usado em vários setores da economia. Futuramente abordaremos o assunto sobre MUDANÇA DE BASE.


Vamos fazer outro exercício semelhante ao anterior, para ficarmos craques no assunto!

9) log416   =>>>   log416 = y   =>>>   4y = 16   =>>>  4y = 42   =>>>   y = 2.

9b) log216   =>>>    log216 = y   =>>>   2y = 16   =>>>   2y = 24   =>>>   y = 4. 

 


10)      raiz

raiz

raiz

raiz

raiz

raizEstamos agora multiplicando os denominadores (6 . 1/3).

raizNão se esqueça que simplificamos numerador com denominador.

2x = 22

x = 2.


11) log     1         =>>>   log    1       =  x   =>>>   Neste caso, a base 10 fica apenas subentendida.

             1000                        1000

Entretanto, na hora de fazer o exercício, ele passa a ficar visível, tal como acontece no expoente 1 e na fração, onde o número está sob 1, mas não precisa ser mostrado.

10x   1         =     =>>>     10x = 10- 3   =>>>   x = - 3.

          1000


12) log   1       =>>>     log     1     = x     =>>>     10x  =    1      =>>>     10x = 10- 2  

            100                          100                                       100

x = -2


13) log 5   1    =>>>   5x  =   1      =>>>   5x  =  5- 2   =>>>   x = - 2.

               25                         25


14) log71   =>>>   log71 = x   =>>>   7x = 1   =>>>   7x = 70   =>>>   x = 0.

Comentários: qualquer número elevado a zero é igual a 1. Como a base do logarítmo é igual a sete, devemos colocar o logaritmando também na base sete.


15) raiz

raiz

raiz

x  = 

        3

 


Futuramente continuaremos a acrescentar mais exercícios sobre logarítmos, mas cremos que o que foi postado até agora, servirá como ajuda para muitos.

Acompanhem nosso próximo assunto: EQUAÇÃO DO 2º GRAU.

 

 

 

 

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