Algumas convenções que serão parte integrante das equações:

Um número  =>> a,b, c, m, p, x, y, ...

O dobro de um número  =>> 2a, 2b, 2c, 2x, 2y, ...

O triplo de um número menos 6  =>> 3x - 6; 3y - 6; 3a - 6 ...

Um número aumentado de 8 unidades  =>>  c + 8; b + 8; x + 8; y + 8 ...

O dobro de um número mais 4  =>> 2x + 4; 2m + 4; 2p + 4; 2z + 4 ...

A metade de um número  =>> x  ; a  ;  b  ; m  ; z  ...

                                                   2     2     2     2    2

A metade de um número mais 7  =>>  x  +  7;  n  +  7;  a  +  7 ...

                                                                 2           2          2

A terça parte de um número  =>>  d  ;  c  ;  x  ;  m  ;  z  ...

                                                                 3     3       3       3       3

É de fundamental importância conhecermos estas convenções, pois elas são necessárias para podermos desenvolver desde as equações mais simples até as mais complexas.

1) O dobro de um número é igual a 35. Ache esse número.

Solução:

2x = 35   =>>>   x = 35 / 2     =>>   x = 17,5.

Prova Real:

2 . 17,5 = 35   ==>   35 = 35.

2) Pensei em certo número e adicionei mais 40 unidades ao mesmo, obtendo com resultado, 75. Em qual número eu pensei?

Solução:  m + 40 = 75  =>>  m = 75 - 40  =>>  m = 35.

Prova Real:

35 + 40 = 75   ==>   75 = 75.

3) A soma do triplo de um número com 17 é igual a 38. Calcule esse número.

Solução:

3x + 17 = 38   =>>>   3x = 38 - 17   =>>>   3x = 21   =>>>   x = 21   =>>>   x = 7

                                                                                                      3

Prova Real:

3 . 7 + 17 = 38   ==>   21 + 17 = 38   ==>   38 = 38.

4) O dobro de um número somado com 15 é igual a 35. Ache-o.

Solução:

2x + 15 = 35   =>>>   2x = 35 - 15   =>>>   2x = 20   =>>>   x = 20 / 2  

x = 10.

5) A metade de um número aumentada de 11 unidades é igual a 15. Qual é esse número?

Solução:

x  +  11  =  15    =>>>    x  =  15 - 11    =>>>    x  =  4    =>>>  x = 4 . 2 

2                                    2                                  2

x = 8.

Comentários: Não se esqueça que x, no lado direito, estava dividindo e, quando passou para o outro lado, ficou com a operação invertida, ou seja, passou a multiplicar. Faça a Prova Real e verifique.

6) Um número, somado com o seu triplo, é igual a 68. Ache o número.

Muita atenção: sempre que tiver um problema onde temos um número e em seguida, soma, subtração, multiplicação ou divisão com ele, comece sempre com o número base, que neste caso, é x. Só depois introduza os outros fatores!

Solução:

x + 3x = 68   =>>>   4x = 68   =>>>   x = 68 / 4   =>>>   x = 17.

7) A soma de dois números é igual a 50. O maior deles supera o menor em 6 unidades. Quais são os dois números?

Solução:

Número menor > x          **********          Número maior: x + 6.

x + (x + 6) = 50   =>>>   x + x + 6 = 50   =>>>   2x + 6 = 50

2x = 50 - 6   =>>>   2x = 44   =>>>   x = 44 / 2   =>>>   x = 22.

Portanto, achamos o número menor: 22.

Como o número maior é acrescido de 6 unidades, então, o número maior é igual a 22 + 6 = 28. Se somarmos 22 + 28, teremos como resultado, 50.

22 e 28 são os números procurados.

8) A soma de dois números é 93. O maior é igual ao menor, mais 9. Encontre os dois números.

Solução:

a + (a + 9) = 93   =>>>   a + a + 9 = 93   =>>>   2a + 9 = 93

2a = 93 - 9   =>>>   2a = 84   =>>>   a = 84 / 2

a = 42.

Número menor: 42     =>>>>>     Número maior = 42 + 9 = 51.

9) A soma de dois números é igual a 64. O maior deles é o triplo do menor. Calcule os dois números.

Solução:

x + 3x = 64   =>>>   4x = 64   =>>>   x = 64 / 4   =>>>   x = 16.

Número menor: 16   =>>>   Número maior: 16 . 3 = 48.

16 + 48 = 64.

10) A soma de dois números inteiros consecutivos é 67. Calcule os dois números.

Comentários: Quando falamos de dois ou mais números consecutivos, falamos de números seguidos. Exemplos: 2, 3, 4, 5 ...

O consecutivo de 3 é 4, ou então, o consecutivo de 3 é igual a 3 + 1. Portanto, o consecutivo de x é x + 1; o consecutivo de m é m + 1 e assim sucessivamente.

Solução:

x + (x + 1) = 67   =>>>   x + x + 1 = 67   =>>>   2x + 1 = 67

2x = 67 - 1   =>>>   2x = 66   =>>>   x = 66 / 2   =>>>   x = 33.

Número menor: 33   =>>>   Número maior = 33 + 1 = 34.

33 + 34 = 67.

11) A soma da idade de Bernardo e Bianca é igual a 24. A idade de Bernardo é o dobro da idade de Bianca. Calcule a idade de cada um.

Solução: idade menor é a de Bianca = x.

               idade de Bernardo = 2x.

x + 2x = 24   =>>>   3 x = 24   =>>>   x = 24 / 3   =>>>   x = 8.

Bianca: 8 anos.

Bernardo: 2 . 8 = 16 anos. Somando-se as idades: 8  16 = 24 anos.

12) Numa sala há 53 alunos. O número de mulheres supera o de homens em 13. Quantos homens e quantas mulheres há nesta sala?

Solução:

x + (x + 13) = 53   =>>>   x + x + 13 = 53   =>>>   2 x + 13 = 53

2x = 53 - 13   =>>>   2x = 40   =>>>   x = 40 / 2

x = 20.

Homens: 20   =>>>   Mulheres: 20 + 13 = 33. Fazendo a soma de homens e mulheres: 20 + 33 = 53 alunos.

13) A soma de três números é 33. Sabe-se que o segundo é o dobro do primeiro e que o terceiro é igual ao segundo, mais 3. Encontre os três números.

Solução:

1º número: x    =>>>     2º número: 2x     =>>>     3º número: 2x + 3

x + 2x + 2x + 3 = 33     =>>>     5x + 3 = 33     =>>>   5x = 33 - 3

5x = 30     =>>>     x = 30 / 5     =>>>     x = 6.

1º número: x = 6     =>>>     2º número: 2x = 2 . 6 = 12

3º número: 2x + 3    =>>>    2 . 6 + 3    =>>>    12 + 3   =>>>  15.

14) A soma de três números é 42. O segundo tem 5 unidades a mais que o primeiro e o terceiro tem 7 unidades a mais que o primeiro. Calcule os três números.

Solução:

1º número: x   =>>>   2º número: x + 5    =>>>   3º número: x + 7.

x + (x + 5) + (x + 7) = 42    =>>>   x + x + 5 + x + 7 = 42

3x + 12 = 42     =>>>     3x = 42 -12     =>>>     3x = 30

x = 30 / 3   =>>>   x = 10.

1º número: 10     =>>>     2º número: 10 + 5 = 15

3º número: 10 + 7 = 17.

15) Três números inteiros são tais que o primeiro é igual ao quíntuplo do segundo e este é igual ao terceiro menos 4 unidades. Determine esses números, sabendo-se que a sua soma vale 25.

Solução:

Neste caso, deduz-se que o terceiro número é o menor de todos, pois nada foi falado sobre ele, se tem mais ou menos unidades. Por isso, é ele quem deve ser encontrado primeiro e servirá como referência para os demais.Em seguida encontramos o segundo número e finalmente o primeiro.

3º número: x

2º número: x - 4

1º número: 5 (x - 4).

5 (x - 4) + (x - 4) + x = 25

5x - 20 + x - 4 + x = 25

5 x + 2x - 20 - 4 = 25

7x - 24 = 25     =>>>     7x = 25 + 24     =>>>     7x = 49

x = 49 / 7   =>>>   x = 7.

3° número: 7     =>>>     2º número: 7 - 4 = 3    

1º número: 5 (7 - 4)     =>>>     35 - 20 = 15.

16) Dois números inteiros, pares e consecutivos, somados, resultam em 58. Ache os dois números.

Observação: Quando falamos de números pares, falamos de números que se alternam de dois em dois. O mesmo princípio vale quando falamos de números ímpares. 2, 4, 6, ...  5, 7, 9, 11 ...

Assim, se falamos de dois números inteiros pares consecutivos, falamos de x e x + 2 (É o valor do número acrescido de duas unidades para que se torne par consecutivo).

Se falamos de dois números inteiros ímpares consecutivos, o critério é o mesmo: x e x + 2, etc.

Solução:

x = 56 / 2   =>>> x = 28.

1º número:28   =>>>   2º número: 28 + 2 = 30.

17) Três números inteiros, pares e consecutivos, somados, resultam em 54. Ache-os.

Solução:

x + (x + 2) + (x + 4) = 54

3x + 6 = 54   =>>>   3x = 54 - 6   =>>>   3x = 48   =>>>   x = 48 / 3

x = 16.

1º número: 16   =>>>   2º número: 16 + 2 = 18   =>>>   3º número: 16 + 4 = 20.

Pela ordem crescente, pares consecutivos: 16, 18, 20.

RACHA CUCA

EXERCÍCIOS MAIS COMPLEXOS, TIPO DE CONCURSO PÚBLICO E ATÉ MESMO VESTIBULAR.

Em um quartel há 3 companhias. A companhia B tem 20 soldados à mais que a companhia C e a companhia A tem 3/5 dos componentes da companhia B. Sabendo-se que o número total de soldados é de 292, encontre o número de soldados de cada companhia.

A companhia C é a que não tem nada acrescido ou diminuído dela. Portanto é representada pela letra X.

A companhia B entra como a segunda, pois está diretamente relacionada com a companhia C.

A companhia A está diretamente relacionada com a companhia B e por isso entrou como a última.

Companhia C = x.

Companhia B = x + 20.

Companhia A = 3/5 de x + 20.

x + (x + 20) + (3 . x + 20) = 292   =>>>   2x + 20 + (3 . x + 20) = 292.

                       5                                                         5      1

2x + 20 + 3x + 60  = 292     =>>>    2x +  3x + 60 = 292 - 20

                    5                                                5  

2x + 3x + 60 = 272   =>>>  10x + 3x + 60 = 1360  =>>> 10x + 3x + 60 = 1.360.

1          5           1                  5           5             5

13x + 60 = 1360   =>>>   13x = 1360 - 60   =>>>   13x = 1300

x = 1300 / 13   =>>>   x = 100.

C = 100

B = 100 + 20 = 120

A = 3 . 120      =>>>   360    = 72.

       5                           5

Somando: 100 + 120 + 72 = 292.

Racha cuca 2:

19) Em certa mesa há 3 urnas com bolinhas. A urna 2 tem 3/4 das bolinhas da urna 1. A urna 3 tem a mesma quantidade da urna 2 mais 50 unidades. Sabendo-se que o total de bolinhas das 3 urnas é igual a 250, calcule a quantidade de bolinhas de cada urna.

urna 1 = x;   urna 2 = 3  . x;   urna 3 = 3 . x + 50 = 250

                                    4                         4

x + (3 . x) + (3 . x + 50) = 250

       4           4

x + 3x + 3x + 50 = 250   =>>>   x + 3x + 3x = 250 - 50

      4      4                                          4      4

x + 3x + 3x = 200   =>>>  x + 6x = 200

       4     4                          1     4      1

4x + 6x = 800   =>>>   4x + 6x = 800  =>>> 10x = 800   =>>>   x = 800 / 10   =>>>   x = 80.

4      4       4  (Desprezamos os denominadores).

Urna 1 = 80 bolinhas.

Urna 2 = 3 . 80    =>>>   240   = 60.

               4                         4

Urna 3 = 3 . 80 + 50   =>>>   240 + 50   =>>>   60 + 50  = 110.

               4                               4    

Somando-se as bolinhas das urnas: 80 + 60 + 110 = 250.