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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Chamamos de equação do 2º Grau a toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0.

x é a variável e a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0.

Alguns exemplos de Equação do 2º Grau:

2x2 - 5x + 3 = 0   =>>>   (a = 2; b = -5; c = 3).

4x2 - 16 = 0   =>>>   (a = 4; b = 0; c = - 16).

x2 - 8x = 0   =>>>   (a = 1; b = - 8; c = 0).

4x2 = 0   =>>>   (a = 4; b = 0; c = 0).

Conforme deve ter sido observado:

O único termo que não pode ser igual a zero é a.

O termo c é o único que não apresenta caracteres alfabéticos, só numéricos.


 RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Considere a equação do 2º  Grau: x2 - 6x + 8 = 0. Vejamos o que acontece quando substituímos a variável x pelos valores: 2, 3, 4 ou 5.

x = 2:

x2 - 6x + 8 = 0   =>>>   22 - 6 . 2 + 8 = 0.

4 - 12 + 8 = 0   =>>>   4 - 4 = 0   =>>>   0 = 0.


 x = 3.

x2 - 6x + 8 = 0   =>>>   32 - 6 . 3 + 8 = 0.

9 - 18 + 8 = 0   =>>>   9 - 18 + 8 = 0   =>>>  9 - 10 = 0   =>>>   - 1 ≠ 0.


 x = 4.

x2 - 6x + 8 = 0   =>>>   42 - 6 . 4 + 8 = 0.

16 - 24 + 8 = 0   =>>>   16 - 24 + 8 = 0   =>>>   16 - 16 = 0   =>>>   0 = 0.

nerdanderthal

Fonte da imagem: nerdanderthal.blogspot.com


 x = 5.

x2 - 6x + 8 = 0   =>>>   52 - 6 . 5 + 8 = 0.

25 - 30 + 8 = 0   =>>>   25 - 22 = 0   =>>>   3 ≠ 0.


 Note que, para x = 2 ou x = 4, a equação transforma-se numa sentença verdadeira. Os valores 2 e 4 são chamados de raízes da equação.

Já os demais valores não são raízes da equação.


 Antes de iniciarmos os exercícios e depois, os problemas envolvendo Equação do 2º Grau, precisaremos rever alguns conceitos de Produtos Notáveis, para entendermos melhor os exercícios.

1º caso: Quadrado da soma de dois termos.

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do terceiro.

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

(3 + 2)2    =>>>    32 + 2 . 3 . 2 + 2  =>>>   9 + 12 + 4  

25.

2) (3 + x)2    =>>>   32 + 2 . 3x + x2   =>>>   9 + 6x + x2.

3) (a + 2b)2   =>>>   a2 + 2 . 2ab + (2b)2

a2 + 4ab + 4b2.


 matematica

Fonte da imagem: planetaeducação.com.br


 2º caso: Quadrado da diferença de dois termos.

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo.

(a - b)2   =>>>   a2 - 2ab + b2.

1) (6 - 4)2   =>>> 62 - 2 . 6 .  4 + (- 4)2.

36 - 2 . 24 + 16   =>>>   36 - 48 + 16   =>>>   -12 + 16   =>>>   4.

2) (x - 1)2   =>>>   x2 - 2x . 1 + 12   =>>>   x2 - 2x + 1

3) (2m - 3)2   =>>>   (2m)2 - 2 . 2m . 3 + 32.

22 . m2 - 2 . 6m . 3 + 9   =>>>   4m2 - 12m + 9.

troladas

Fonte da imagem: trollada.com.br


Exercícios resolvidos:

a) (x + 2)2   =>>>   x2 + 2 . x . 2 + 22   =>>>   x2 + 2 . 2x + 4   =>>>   x2 + 4x + 4.

b) (3x + 2y)  =>>>   (3x)2 + 2 . 3x . 2y + (2y)2   =>>>   9x2 + 2 . 6xy +4y2

9x2 + 12xy + 4y2.


 b) (x - 5)2   =>>>   x2 - 2 . x . 5 + 52   =>>>   x2 - 2x . 5 + 25

x2 - 10x + 25.


 A partir de agora, podemos focar os exercícios de Equação do 2º Grau.

I) Coloque na forma ax2 + bx + c = 0 e determine os coeficientes.

1) 5x + 3x2 = 4x - 7

5x + 3x2 - 4x + 7 = 0   =>>>   5x - 4x + 3x2 + 7 = 0

3x2 + x + 7 = 0.

Coeficientes: a = 3; b = 1(Não se esqueça: x é o mesmo que 1x); c = 7.

2) (x + 1)2 - x = 7

x2 + 2 . x . 1 + (1)2 - x = 7  =>>>   x2 + 2x + 1 - x - 7 = 0

x2 + 2x - x + 1 - 7 = 0   =>>>   x2 + x - 6 = 0.

Coeficientes: a = 1; b = 1; c = - 6.

3) (x + 4)2 = 3 (x + 2):

x2 + 2 . x . 4 + 42 = 3x + 6   =>>>   x2 + 2x . 4 + 16 = 3x + 6

x2 + 8x + 16 - 3x - 6 = 0   =>>>   x2 + 8x - 3x + 16 - 6 = 0

x2 + 5x + 10 = 0.

Coeficientes: a = 1; b = 5; c = 10.

4) (x - 2) (x + 1) = 3

x . x + x . 1 (- 2 . x) (- 2 . 1) = 3   =>>>   x2 + x - 2x - 2 = 3

x2 - x - 2 - 3 = 0   =>>>   x2 - x - 5 = 0.

Coeficientes: a = 1; b = - 1; c = - 5.

5) 4x2 - 1 = (x + 3) (x - 3).

4x2 - 1 = x . x + (x . (- 3) + 3 . x + 3 . (- 3)

4x2 - 1 = x2 - 3x + 3x - 9   =>>>   4x2 - 1 = x2 + 0 - 9

4x2 - 1 - x2 + 9 = 0   =>>>   4x2 - x2 - 1 + 9 = 0

3x2 + 8 = 0.

Coeficientes: a = 3; b = 0; c = 8.

Comentários: - 3x + 3x se anulam, tal como numa soma de -3 + 3 = 0.


 A discriminante da Equação do 2º Grau é dada pela fórmula: b2 - 4ac e é representada pela letra grega maiúscula Δ (delta).

Abaixo, os dois modelos práticos de resolver os exercícios, usando a fórmula de Bhaskara:

bhaskara

Fonte da imagem: portaldoprofessor.mec.gov.br

bhaskara2

Fonte da imagem: formatematica.blogspot.com


Agora que já aprendemos a base da Equação do 2º Grau, vamos aprender a desenvolver os exercícios, do início ao fim, até encontrarmos as raízes da equação e aprender como aplicar a prova real, para sabermos se as raízes encontradas são as procuradas.


 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU SEM A FÓRMULA DE BHASKARA

I) Resolva as seguintes Equações do 2º Grau:

1) x2 - 49 = 0

x2 = 49

x = ± √49   =>>>   x = ± 7

S = {+ 7; - 7}.

Prova Real:

(7)2 - 49 = 0   =>>>   49 - 49 = 0   =>>>   0 = 0.

(- 7)2 - 49 = 0   =>>>   49 - 49 = 0   =>>>   0 = 0.

2) x2 = 1

x = ± √1   =>>>   x = ± 1

S = {1; - 1}.

Prova Real:

(1)2 = 1   =>>>   1 = 1.

positivo

Fonte da imagem: jacaroadesandalia.blogspot.com

3) 2x2 - 50 = 0

2x2 = 50   =>>>   x2 = 50   =>>>   x2 = 25.

                                     2

x = 25   =>>>   x = ± 5.

S: {5; - 5}.

Prova Real:

2 . 52 - 50 = 0   =>>>   2 . 25 - 50 = 0   =>>> 50 - 50 = 0   =>>>   0 = 0.

2 . (- 5)2 - 50 = 0   =>>>  2 . 25 - 50 = 0   =>>>  50 - 50 = 0  =>>  0 = 0.


4) 4x2 = 36   =>>>   x2 = 36/4   =>>>   x2 = 9

x = ± 9   =>>>   x = ± 3.

S: {+ 3; - 3}.

5) 21 = 7x2   =>>>   7x2 = 21   =>>>   x2 = 21/7

x2 = ± 3

S: {3; - 3}.

Prova Real:

7x2 = 21   =>>>   7 (3)2 = 21   =>>>   Cancelamos a raíz quadrada com a potência quadrada:

7 . 3 = 21   =>>>   21 = 21.

O mesmo vale para (- 3)2

Apesar do número ser negativo, quando ele é elevado ao quadrado, torna-se positivo.


 6) 4x2 - 49 = 0   =>>>   4x2 = 49   =>>>   x2 = 49 

                                                                                4

x = 49   =>>>   x = ±

      √4                          2

S: {7;  - 7}.

      2     2

Prova real:

4  . (7)2 - 49 = 0   >>   4 . 49  - 49 = 0

     (2)                                 4

Cancelamos o 4 que multiplica o 49 pelo 4 que divide o 49.

49 - 49 = 0   =>>>   0 = 0.

O mesmo vale para -( 7)2

                                (2)

matematica


 A partir de agora, vamos trabalhar com as equações do segundo grau completas, usando o valor de Δ e a Fórmula de Bháskara.

Δ = b2 - 4 . a . c

x = - b ± Δ

          2a

1) x2 + 3x - 10 = 0

a = 1;   b = 3;   c = - 10.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>  Δ = (3)2 - 4 . 1 . (- 10)

Δ = 9 - 4 . (- 10)   =>>>   Δ = 9 + 40    =>>> Δ = 49

x = - b ± √49

          2 . a

x = - 3 ± 7   =>>>   x = - 3 ± 7   

         2 . 1                           2

x' = - 3 + 7    =>>>   x' = 4   =>>>   2

           2                           2

x" = - 3 - 7   =>>>   x" = - 10   =>>>   x" = - 5

          2                              2

S: {2; - 5}.


 2) x2 - 8x + 12 = 0   =>>>   a = 1;   b = - 8;   c = 12.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>   Δ = (- 8)2 - 4 . 1 . 12.

Δ = 64 - 4 . 12   =>>>   Δ = 64 - 48   =>>>   Δ = 16.

x = - b ± √16   =>>>   x = - (- 8) ± 4   =>>>   x' = 8 + 4  

          2 . a                              2 . 1                            2

x' = 12   =>>>   x' = 6.

       2

x" = 8 - 4   =>>>   x" =  =>>>   x" = 2.

         2                          2

S: {6; 2}.


 3) x2 - x - 1 = 0   =>>>   a = 1;   b = - 1;   c = -1.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>   Δ = (- 1)2 - 4 . 1 . (- 1)

Δ = 1 - 4 . (- 1)   =>>>   Δ = 1 + 4   =>>>   Δ = 5.

x = - b ± √5   =>>>   x = - (- 1) ± √5     =>>>   x = 1 ± √5

         2a                                  2 . 1                               2

x' = 1 + √5  

          2

x" = 1 - √2

          2

S: {1 + √5; 1 - √5}

         2          2.


 4) - x2 + x + 12 = 0

a = - 1;   b = 1;   c = 12.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>   Δ = (1)2 - 4 . (- 1) . 12

Δ = 1 + 4 . 12   =>>>   Δ = 1 + 48   =>>>   Δ = 49.

x = - b ± √Δ   =>>>   x = - 1 ± √49   =>>>   x' = - 1 + 7

         2 . a                         2 . (- 1)                            - 2

x' =  =>>>  x' = - 3.

     - 2

x" = - 1 - 7   =>>>  x' =  - 8   =>>>   x" = 4.

        - 2                          - 2

S: {- 3; 4}.

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5) x2 - 3x + 2 = 0

a = 1;   b = - 3;   c = 2.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>   Δ = (3)2 - 4 . 1 . 2   =>>>   Δ = 9 - 4 . 2  

Δ = 9 - 8    =>>>   Δ = 1.

x = - b ± √Δ   =>>>   x = - (-3) ± √1   =>>>   x = 3 ± √1

         2 . a                             2 . 1                                 2

x' = 3 + 1   =>>>   x' =   =>>>   x' = 2.

           2                          2

x" = 3 - 1   =>>>   x" =   =>>>   x" = 1

           2                          2

S: {2; 1}.


6) 2x2 + 3x - 9 = 0

a = 2;   b = 3;   c = - 9.

Δ = b2 - 4 . a . c   =>>>   Δ = (3)2 - 4 . 2 . (- 9)

Δ = 9 - 8 . (- 9)   =>>>   Δ = 9 + 72   =>>>   Δ =81.

x = - b ± √Δ   =>>>   x = - 3 ± √81   =>>>   x = - 3 ± 9

         2 . a                             2 . 2                                 4

x' = - 3 + 9   =>>>   x' = 6   =>>>   x' =

        2 . 2                        4                      2

x" = - 3 - 9   =>>>   x" = - 12   =>>>   x" = - 3.

         2 . 2                           4

S: {3; - 3}

      2

 

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