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DESVENDANDO OS SEGREDOS DA MATEMÁTICA
DESVENDANDO OS SEGREDOS DA MATEMÁTICA

DESVENDANDO OS SEGREDOS DA MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO

Os números negativos merecem atenção especial. Vamos relembrar algumas regras.

Soma de números negativos:

a) 120 + (- 30) + (- 40) =

120 - 30 - 40 =

120 - 70 = 50.

b) 50 + (- 20) + (- 40) + (- 10) =

50 - 20 - 40 - 10 =

50 - 70 = - 20.

Subtração de números negativos:

a) 80 - (+20) =

80 - 20 = 60.

b) 60 - (- 10) - (- 30)  =

60 + 10 + 30 =

60 + 40 = 100.

c) 60 - (+30) - (+ 40) =

60 - 30 - 40 =

60 - 70 = - 10.

Multiplicação e divisão de números negativos.

Nestes dois casos, a regra é uma só:

Na multiplicação ou divisão de um número positivo por um outro, também positivo, o resultado será sempre positivo:

a) 30 . 5 = 150   =>   30 : 5 = 6.

Na multiplicação ou divisão de um número negativo por outro, também negativo, o resultado também será sempre positivo:

a) (- 12) . (-5) = 60   =>   (- 80) : (- 4) = 20.

Na multiplicação ou divisão de um número positivo por outro, negativo, ou de um número negativo por outro, positivo, o resultado será sempre negativo:

a) 13 . (- 3) = - 39   =>   48 : (- 8) = - 6.

b) (- 4,5) . 2 = - 9   =>   (- 25) : 10 = - 2,5.

                                                                            POTENCIAÇÃO

racionalPotenciação nada mais é que a simplificação de determinada multiplicação por um determinado algarismo várias vezes.

3 . 3 . 3 . 3 = 9 . 3 . 3 = 27 . 3 = 81.

Podemos representar esta multiplicação através da potenciação: 34.

5 . 5 = 52 = 25.

No exemplo acima, o algarismo 5 é a base, ou seja, o fator que se repete, o algarismo 2 é o expoente, ou seja, indica a quantidade de vezes que o fator se repete e o algarismo 25 é a potência, ou seja, o resultado da multiplicação do fator que se repete.

Qualquer algarismo, mesmo não estando indicado, está elevado a 1. Como o valor de um algarismo elevado a 1 é sempre igual a ele mesmo, não precisamos fazer esta operação; entretanto, para casos como os que veremos a seguir, este fator precisa ser levado em consideração.

A potenciação possui algumas regras quando se trata de multiplicação e divisão.

                                                              Multiplicação de potências:

Na multiplicação, mantemos a base e somamos os valores dos expoentes:

a) 52 . 5 . 53 . 54

Observe que o algarismo 5 não tem potência aparente; entretanto, para o caso da multiplicação e para a divisão de potências, não podemos nos esquecer que ele está elevado a 1.

5 2 .51.53.54 = 5 10.

b) 83 .82 . 86 = 811

Mais um lembrete: Qualquer algarismo elevado a zero (0) é igual a 1.

                                                           Divisão de potências:

Na multiplicação de potências, conforme visto, mantemos a base e somamos os expoentes.

Na divisão de potências, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

412 : 47 = 45.

125 : 124 = 121 = 12.

Potências com expoentes negativos:

Relembrando:

(- 3)2 = (- 3) . (- 3) = 9 > Base negativa, expoente par, potência positiva.

(- 4)3 = (- 4) . (- 4) . (- 4) = - 64 > Base negativa, expoente ímpar, potência negativa.

O mesmo princípio vale para as frações.

Agora, uma observação importantíssima:

- 72 = - 7 . 7 = - 49 > Não se esqueça que é o algarismo 7 que está elevado ao quadrado.

- 33 = - 3 . 3 . 3 = - 27.

Potências com expoente negativo:

raiz negativa

Agora, um caso importantíssimo:

raiz negativa2

Não se esqueça: base negativa, expoente par, potência positiva; base negativa, expoente ímpar, potência negativa.

Depois de conhecer os fundamentos da Matemática, você poderá iniciar seus estudos mais aprofundados, aprendendo sobre Equação do Primeiro Grau.

Clique no link abaixo e acesse esta página:

http://teachersergio.no.comunidades.net/index.php?pagina=1503321548

Aproveitando, vamos relembrar uma das propriedades da multiplicação, conhecida como distributiva.

a) 3 (4 - 2) =

(3 . 4) - (3 . 2) =

12 - 6 = 6

6 = 6..

b) 2 (8 + 7) =

(2 . 8 ) + (2 . 7) =

16 + 14 = 30

30 = 30.

 h) 2 (x - 9) = 12

(2x) + (2.( - 9) = 12

2x + (- 18) = 12

2x - 18 = 12.

2x = 12 + 18 (Não se esqueça, quando um algarismo passa para o outro lado, a operação matemática que estava sendo feita fica sendo o inverso; (- 18) passa a ser (+ 18).

2x = 30.

x = 30 / 2

x = 15.

Prova Real:

2 (15 - 9) = 12

(2 . 15) + (2 . (-9) = 12

30 +(-18) = 12

30 - 18 = 12

12 = 12.

i) 5 (x - 6) = 30

(5x) + (5 . (-6) = 30

5x + (- 30) = 30

5x - 30 = 30

5x = 30 + 30

5x = 60

x = 60 / 5

x = 12.

Prova Real:

5 (12 - 6) = 30

(5 . 12) + (5 . (-6) = 30

60 + (- 30) = 30

60 - 30 = 30

30 = 30.

j) 5 (x + 3) = 4 (x - 1)

 5x + (5 . 3) = 4x + (4 . (-1)

5x  + 15 = 4x + (- 4)

5x + 15 = 4x - 4

5x - 4x = - 4 - 15

x = - 19.

Prova Real:

5 (-19 + 3) = 4 (-19 - 1)

5 . (-19) + (5 . 3) = 4 (- 19) + 4 (- 1)

- 95 + 15 = - 76 - 4

- 80 = - 80.

k) 4 (2x - 1) = - 2(x - 3)

(4 . 2x) + (4 . (- 1) = (- 2 . x) + (- 2 . (- 3)

8x + (- 4) = - 2x + (+ 6)

8x - 4 = - 2x + 6

8x + 2x = 6 + 4

10x = 10

x = 10 / 10

x = 1.

Prova Real:

4 (2 . 1 - 1) = -2 (1 - 3)

4 . 2 + (4 . (- 1) = (- 2 . 1) + (- 2 . - 3)

8 + (- 4) = - 2 + (+ 6)

8 - 4 = -2 + 6

4 = 4.

 

Ainda na parte introdutória, vamos fazer uma rápida revisão de frações e MMC.

Mínimo Múltiplo Comum significa um determinado algarismo de menor valor possível, que pode ser dividido, ao mesmo tempo, por 2 ou mais algarismos diferentes.

O algarismo 6, por exemplo, é o menor múltiplo que pode ser dividido ao mesmo tempo por 2 e por 3.

Da mesma forma, o algarismo 10 pode ser dividido, ao mesmo tempo, por 2 e por 5. 15 pode ser dividido ao mesmo tempo por 3 e por 5. 12, pode ser dividido, ao mesmo tempo, por 2, 3, 4 e 6.

As frações que possuem o mesmo denominador são somadas ou subtraídas sem a necessidade de usar o MMC. Já as frações com denominadores diferentes, precisam usar este método. A figura a seguir ilustra alguns casos:

fração

Comentários adicionais:

As duas primeiras frações, por terem denominadores iguais, foram desenvolvidas sem a necessidade do MMC.

A terceira fração 3 / 4 + 1 / 8, ao extrairmos o MMC, encontramos como resultado o algarismo 8. Como o novo denominador é 8 e o denominador da primeira fração é 4, precisamos multiplicá-lo por 2 para chegar a 8. Então, multiplicamos o numerador também por 2, ficando a nova fração como 6 / 8. Como o denominado da segunda fração já é 8, então a multiplicamos por 1 ou basta apenas repetí-la. Depois é só fazer a soma, uma vez que as duas frações agora estão com o mesmo denominador.

A quarta fração já tem 3 denominadores com valores diferentes. Ao extrairmos o MMC, encontramos como resultado, 40.

A primeira fração (1 / 4) precisa ter o denominador multiplicado por 10, para que chegue a 40. Multiplicamos o numerador também por 10.

A segunda fração (1 / 5) precisa ter o denominador multiplicado por 8 para que chegue a 40. Multiplicamos também o numerador por 8.

A terceira fração (3 / 8) precisa ter o denominador multiplicado por 5 para que chegue a 40. Multiplicamos também o numerador por 5.

Agora que todas as frações estão com seus denominadores iguais, basta fazer a soma.

Na divisão de frações, conservamos a primeira e multiplicamos pela segunda invertida; numerador vezes numerador e denominador vezes denominador.

Na multiplicação de frações, multiplica-se o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.

Veja alguns exemplos na figura a seguir:

fração

 

Agora você já pode acessar a aula sobre Equação do Primeiro Grau, clicando no link abaixo:

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